Libros gratís de matemáticas

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El profesor Carlos Ivorra de la Universidad de Valencia posee un sitio web personal donde muestra sus notas de estudio en forma de libros. Es interesante ver la producción académica lograda por este particular profesor, dado que dentro de las matemáticas su campo de acción es bastante amplio. Les dejo los libros ofrecidos y una pequeña reseña de cada uno

• Lógica y teoría de conjuntos
  

Contiene los resultados esenciales sobre la fundamentación de la matemática. Se divide en tres partes:

Primera parte: Lógica de primer orden

Teorías axiomáticas, introducción a la teoría de modelos, el teorema de completitud de Gödel, introducción a la teoría de la recursión, los teoremas de incompletitud de Gödel.

Segunda parte: La lógica de la teoría de conjuntos

Las axiomáticas de Zermelo-Fraenkel y von Neumann-Bernays-Gödel, modelos de la teoría de conjuntos, la formalización de la lógica en la teoría de conjuntos.

Tercera parte: Teoría de conjuntos

Ordinales, inducción y recursión sobre relaciones bien fundadas, cardinales.

En la primera parte se incide en los problemas de fundamentación de la matemática, defendiendo en todo momento una postura finitista al estilo de Hilbert pero ampliada para reconocer la legitimidad de los razonamientos metamatemáticos en torno a colecciones numerables. En la segunda parte se incide en la particularización de los resultados obtenidos en la primera parte al caso concreto de la teoría de conjuntos. Doy una prueba específica del segundo teorema de incompletitud. La tercera parte está encaminada a estudiar la exponenciación cardinal. Se estudian las consecuencias de la hipótesis de los cardinales singulares, y en particular de la hipótesis del continuo generalizada.

• Pruebas de consistencia

Consta de dos partes:

Primera parte: Teoría básica y aplicaciones

Modelos de la teoría de conjuntos, constructibilidad, extensiones genéricas, álgebras de Boole. Aplicaciones.

Segunda parte: Cardinales grandes

Cardinales medibles, débilmente compactos, de Ramsey, compactos, supercompactos y enormes. Aplicaciones.

En la primera parte se introducen las técnicas básicas de pruebas de consistencia. Como aplicaciones se demuestra (entre otros muchos ejemplos) el teorema de Easton sobre las posibilidades de la función del continuo sobre cardinales regulares, la independencia del axioma de elección, la consistencia del axioma de Martin, la independencia del problema de Suslin, del problema de la aditividad de la medida de Lebesgue y de la existencia de extensiones de la medida de Lebesgue a todos los subconjuntos de números reales.

En la segunda parte se estudian los cardinales grandes más importantes y su aplicación a las pruebas de consistencia. Entre otros resultados, se prueba la consistencia de la negación de la hipótesis de los cardinales singulares (relativa a la existencia de un cardinal supercompacto).

• Análisis no estándar

Un curso típico (en cuanto a su contenido) de análisis matemático: cálculo diferencial e integral de una y varias variables, pero desarrollado en el contexto del análisis no estándar, es decir, utilizando números reales infinitesimales. En los apéndices A y B expongo dos teorías axiomáticas que fundamentan rigurosamente el uso de infinitésimos, la teoría de Nelson y la de Hrbacek, respectivamente, y en el apéndice C demuestro el teorema de extensión para ambas teorías, en virtud del cual, todo resultado "estándar" (es decir, todo resultado en el que no se haga referencia a infinitésimos ni conceptos relacionados) que pueda probarse en las teorías citadas, puede demostrarse también en ZFC.

• Álgebra
  

Consta de 17 capítulos y dos apéndices. En el capítulo XII se demuestra que los anillos de enteros algebraicos de los cuerpos numéricos son dominios de Dedekind. Los capítulos previos contienen todo lo necesario para llegar a definir estas nociones, probar el resultado y comprender su importancia (anillos, módulos y espacios vectoriales, extensiones de cuerpos, grupos, matrices y determinantes, etc.) Los dos capítulos siguientes estudian más a fondo el caso de los cuerpos cuadráticos, los capítulos XV y XVI (Teoría de Galois y Módulos finitamente generados), así como los apéndices, presentan algunos resultados adicionales de cara al estudio de la Teoría de Números. Finalmente, el capítulo XVII trata sobre resolución de ecuaciones por radicales.

• Geometría
  

Una exposición de la geometría desde diferentes puntos de vista. En los primeros capítulos introduzco axiomáticamente la geometría euclídea, luego introduzco coordenadas y paso así a la geometría analítica, de aquí paso a su vez a la geometría proyectiva, al estudio de las secciones cónicas y, finalmente, los últimos capítulos estudian las geometrías no euclídeas. En ningún momento hago uso de la geometría diferencial y podría decirse que en algún momento rozo la geometría algebraica.

El propósito fundamental de este libro es analizar rigurosamente los conceptos geométricos que subyacen en la matemática moderna pero que, a menudo, se dan por sabidos o, más aún, se eluden a través de definiciones oportunas (por ejemplo, al definir el seno como una serie de potencias en lugar del clásico "cateto opuesto partido por la hipotenusa", o al convertir el teorema de Pitágoras en una definición). He aprovechado para rescatar algunas antigüedades de escaso valor hoy en día, pero que no está mal recordar lo que son, como el famoso "círculo de los nueve puntos".

• Análisis

Los dos primeros capítulos contienen toda la topología que he necesitado en los libros siguientes: Espacios topológicos, continuidad, compacidad, conexión, etc. Luego expongo el cálculo diferencial e integral de una y varias variables, lo que incluye un poco de ecuaciones diferenciales (los teoremas de existencia y unicidad) y la teoría de la medida básica (hasta el teorema de Riesz y el teorema de cambio de variable). Expongo los resultados básicos de la geometría diferencial particularizados a subvariedades de Rⁿ (hasta la integración en variedades, el teorema de Stokes y las propiedades básicas de la cohomología de De Rham) y algunos resultados más avanzados para el caso de superficies en R³ (geodésicas, curvatura de Gauss, etc.). Aparte de ejemplos propiamente analíticos y geométricos, muestro algunas aplicaciones a la física (electromagnetismo, gravitación, mecánica de fluidos, etc.). En particular he incluido algunos complementos analíticos al estudio de las geometrías no euclídeas del libro precedente (determinación de las métricas y las geodésicas no euclídeas).

• Funciones de variable compleja

Una introducción a la teoría de funciones holomorfas con aplicaciones a la teoría de números. Además de los resultados usuales (funciones holomorfas y meromorfas, series y productos infinitos, el teorema de los residuos, etc.) se demuestra el teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas, el teorema de los números primos, la ley de reciprocidad cuadrática, etc. Los últimos capítulos tratan sobre funciones multiformes y superficies de Riemann.

• Teoría de números

Una introducción a la teoría algebraica de números. Se centra en la aritmética de los cuerpos numéricos y sus compleciones (cuerpos de números p-ádicos), con aplicaciones a las ecuaciones diofánticas. Especialmente expongo la teoría de Gauss sobre formas cuadráticas binarias y los resultados principales de Kummer sobre el último teorema de Fermat. El último capítulo contiene dos pruebas de trascendencia: el teorema de Lindemann-Weierstrass y el teorema de Gelfond-Schneider.

• Teoría de cuerpos de clases
  

Este libro es una continuación natural del anterior, donde expongo la teoría global de cuerpos de clases para cuerpos numéricos y la teoría local para sus compleciones. (No entro en la teoría análoga para cuerpos de funciones algebraicas de una variable sobre cuerpos finitos.) La exposición sigue un enfoque clásico, pero en los últimos temas doy también una exposición alternativa en términos de cohomología de grupos.

• Topología algebraica
  

Consta de dos partes, la primera de topología propiamente dicha y la segunda de geometría diferencial.

Primera parte: Topología

Homología singular y aplicaciones: el teorema de Brouwer, el teorema de Jordan-Brouwer, la clasificación de las superficies compactas, homología de las variedades topológicas. El último capítulo contiene algo (muy poco) sobre homotopía. Un apéndice contiene la clasificación de las superficies compactas, incluyendo la prueba de que son triangulables.

Segunda parte: Geometría Diferencial

Los dos primeros capítulos contienen los hechos básicos sobre geometría diferencial, esencialmente lo necesario para definir las geodésicas y demostrar la existencia de entornos geodésicamente convexos. Luego estudio la cohomología de De Rham, y los últimos capítulos tratan sobre la cohomología de los fibrados y el teorema de punto fijo de Lefchetz.

• Geometría algebraica
  

Introducción a la geometría algebraica desde un punto de vista clásico (es decir, sin hablar de haces o esquemas). Tras introducir los conceptos básicos de la geometría algebraica (variedades afines y proyectivas, puntos regulares, topología de Zariski, espacios tangentes, dimensión, etc.) estudio las variedades complejas y demuestro que las variedades complejas regulares son variedades diferenciales complejas compactas. A partir de aquí me centro en las curvas proyectivas regulares (que en el caso complejo son superficies de Riemann) y estudio sus cuerpos de funciones regulares con las técnicas de la teoría algebraica de números (divisores primos), pues son cuerpos de funciones algebraicas. Con estas técnicas estudio la intersección de curvas proyectivas planas (teorema de Bezout) y luego demuestro el teorema de Riemann-Roch, que proporciona, entre otras cosas, una caracterización algebraica del género topológico de una curva. Tras un capítulo de aplicaciones del teorema de Riemann-Roch, dedico un capítulo al teorema de Abel-Jacobi y otro a una introducción a la teoría de curvas elípticas. En un apéndice extiendo el concepto de divisor a variedades de dimensión mayor que uno, si bien demuestro únicamente lo imprescindible para probar un teorema sobre isogenias necesario para mi libro de curvas elípticas.

• Curvas elípticas

Contiene la teoría básica sobre curvas elípticas, hasta el teorema de Mordell-Weil, y algunos resultados sobre funciones modulares. El último capítulo contiene los resultados básicos sobre multiplicación compleja. En el primer capítulo demuestro los resultados fundamentales sobre variedades algebraicas definidas sobre cuerpos no necesariamente algebraicamente cerrados, y he aprovechado la ocasión para incluir en un apéndice la prueba de la hipótesis de Riemann para cuerpos finitos, que estaba enunciada sin prueba en mi geometría algebraica porque necesitaba este material.

• Álgebra homológica y álgebra conmutativa
  

Contiene los preliminares de álgebra homológica y álgebra conmutativa para el libro siguiente. La parte de álgebra homológica contiene esencialmente la teoría de funtores derivados desarrollada sobre categorías de módulos sobre un espacio anillado. Aunque no formaba parte del propósito inicial del libro, he aprovechado para incluir aplicaciones a la topología algebraica y la geometría diferencial. Concretamente, demuestro que la cohomología singular, la cohomología singular diferenciable, la cohomología de Alexander-Spanier y la cohomología de De Rham coinciden todas con la cohomología abstracta definida a partir de la teoría de funtores derivados. Como aplicación doy una prueba elegante del teorema de De Rham, incluyendo el hecho de que el isomorfismo de De Rham es un isomorfismo de álgebras (hecho que no está demostrado en mi libro de Topología Algebraica).

La parte de álgebra conmutativa consta de tres capítulos: el primero (Capítulo III) trata sobre el espectro de un anillo y la dimensión de Krull, el segundo (Capítulo IV) sobre anillos locales, en el que demuestro, entre otras cosas, el teorema de la dimensión, y el tercero (Capítulo V) sobre regularidad.

• Representaciones de grupos finitos

Este libro ha surgido como ampliación de lo que originalmente era un capítulo de preliminares en el libro de Superficies aritméticas. Tras un capítulo de introducción y resultados preliminares, en el capítulo II se exponen los resultados básicos de la teoría de representaciones ordinarias sobre el cuerpo de los números complejos, que después se generaliza en el capítulo III a cuerpos arbitrarios, y el capítulo IV es una introducción a la teoría de representaciones modulares, es decir, a los resultados específicos para cuerpos cuya característica divide al orden del grupo. En el apéndice A se estudian las representaciones de Artin y Swan, que son lo que se requiere en el libro de superficies aritméticas para definir el conductor de una curva elíptica. El apéndice B es un ejemplo ilustrativo, en el que se calculan los caracteres ordinarios y modulares del grupo alternado A₅.

• Esquemas
  

Introducción a la geometría algebraica moderna (teoría de esquemas). Contiene todos los resultados necesarios para demostrar el teorema de Weil que afirma que las variedades abelianas son proyectivas, aunque sólo se expone (en el último capítulo) lo mínimo sobre variedades abelianas indispensable para tal fin.